Übungsblatt 1 – Mathematik

a)  $\sqrt[\text{4}]{\text{0,0625}}=\mathrm{0,5}$ (da ${\text{0,5}}^{\text{4}}=\mathrm{0,0625}$)

b)  ${\text{2}}^{\text{−3}}=\frac{\text{1}}{\text{8}}=\mathrm{0,125}$

c)  ${\left(\frac{\text{1}}{\text{3}}\right)}^{\text{5}}·9-{\left(\frac{\text{−1}}{\text{3}}\right)}^{\text{4}}=\frac{\text{1}}{\text{27}}-\frac{\text{1}}{\text{81}}=\frac{\text{2}}{\text{81}}$

a)  $2{\left(\text{x−1}\right)}^{\text{3}}=54⟹{\left(\text{x−1}\right)}^{\text{3}}=27⟹\text{x−1=3}⟹\text{x=4}$

b)  $\text{13x −}{\text{x}}^{\text{2}}=36⟹{\text{x}}^{\text{2}}\text{− 13x + 36 = 0}⟹{\text{x}}_{\text{1,2}}=\frac{\text{13 ± 5}}{\text{2}}⟹{\text{x}}_{\text{1}}=9\text{,}{\text{x}}_{\text{2}}=4$ (beide erfüllen die Definitionsmenge)

a)  ${\text{a}}^{\text{3}}·{\text{a}}^{\text{−5}}·{\text{a}}^{\text{2}}={\text{a}}^{\text{3−5+2}}={\text{a}}^{\text{0}}=1$

b)  ${\left(\frac{\text{2}}{\text{3}}\right)}^{\text{−2}}={\left(\frac{\text{3}}{\text{2}}\right)}^{\text{2}}=\frac{\text{9}}{\text{4}}=\mathrm{2,25}$

c)  $-\sqrt[\text{3}]{\text{8}}·{\text{2}}^{\text{2}}=\text{(−2) · 4 = −8}$

f(0) = c = 4. $\text{f(2) = 4}{\text{a}}^{\text{2}}=9⟹{\text{a}}^{\text{2}}=\frac{\text{9}}{\text{4}}⟹\text{a = 1,5}$
$\text{f(x) = 4 ·}{\text{1,5}}^{\text{x}}$

Abb.1 → f3 (Parabel, Streckfaktor 2)

Abb.2 → f5 (Exponentialfkt., steigend, durch (0|1))

Abb.3 → f1 (achsensymmetrisch, x⁴)

Abb.4 → f2 (punktsymmetrisch, steigend)

Abb.5 → f4 (punktsymmetrisch, fallend)

Abb.6 → f6 (fällt stark, nähert sich 0)

a)  ${\text{x}}^{\text{2}}\text{− 2x − 3 = 0}⟹\text{(x−3)(x+1) = 0}⟹{\text{x}}_{\text{1}}=3\text{,}{\text{x}}_{\text{2}}=\mathrm{-1}$

b)  ${\text{x}}^{\text{2}}\text{− 2x − 3 =}{\left(\text{x−1}\right)}^{\text{2}}\text{− 4}⟹\text{S(1|−4)}$

V = $\frac{\text{1}}{\text{3}}·{\text{a}}^{\text{2}}\text{· h =}\frac{\text{1}}{\text{3}}\text{· 25 · 7 =}\frac{\text{175}}{\text{3}}\text{≈ 58,33 [cm³]}$

Seitenhöhe ${\text{h}}_{\text{s}}=\sqrt{{\text{h}}^{\text{2}}\text{+}{\left(\frac{\text{a}}{\text{2}}\right)}^{\text{2}}}=\sqrt{\text{49 + 6,25}}=\sqrt{\text{55,25}}\text{≈ 7,43 [cm]}$

O = ${\text{a}}^{\text{2}}\text{+ 4 ·}\left(\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{· a ·}{\text{h}}_{\text{s}}\right)\text{= 25 + 74,33 ≈ 99,33 [cm²]}$

M sei der Mittelpunkt der vorderen unteren Kante (Länge 12 cm), C der Mittelpunkt der hinteren oberen Kante.
Die Strecke CM verläuft durch die Mitte des Quaders, senkrecht zur vorderen Kante — sie ist die Diagonale eines Rechtecks mit den Seiten 3 cm und 4 cm:
$\text{CM =}\sqrt{{\text{3}}^{\text{2}}\text{+}{\text{4}}^{\text{2}}}=\sqrt{\text{9 + 16}}=\sqrt{\text{25}}\text{= 5 [cm]}$
Da C symmetrisch über der Mitte der vorderen Kante liegt, ist das Dreieck gleichschenklig. CM steht deshalb senkrecht auf der vorderen Kante und ist die Höhe des Dreiecks über dieser Basis (12 cm).
$\text{A =}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{· 12 · 5 = 30 [cm²]}$

a)  c = $\sqrt{{\text{a}}^{\text{2}}\text{+}{\text{b}}^{\text{2}}}=\sqrt{\text{36 + 64}}=\sqrt{\text{100}}\text{= 10 [cm]}$

b)  A = 1/2 · 6 · 8 = 24 [cm²]

a)  Aus P(B) = 0,75 und P(B∩W̄) = 0,6 folgt P(B∩W) = 0,75 − 0,6 = 0,15. Da alle vier Felder 1 ergeben: P(B̄∩W̄) = 1 − 0,15 − 0,6 − 0,15 = 0,1. Randwerte: P(W)=0,3, P(W̄)=0,7, P(B̄)=0,25.

b)  P(W∩B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten. P_W(B) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung, dass W bereits eingetreten ist.

c)  ${\text{P}}_{\text{W̄}}\text{(B) =}\frac{\text{P(B∩W̄)}}{\text{P(W̄)}}=\frac{\text{0,6}}{\text{0,7}}\text{≈ 0,857 ≈ 85,7 \%}$

d)  P(W)·P(B) = 0,3·0,75 = 0,225 ≠ P(W∩B) = 0,15 ⟹ nicht unabhängig

a)  1. Zug: P(rot)=3/5, P(blau)=2/5. 2. Zug: nach rot P(rot)=2/4,P(blau)=2/4; nach blau P(rot)=3/4,P(blau)=1/4.

b)  P(rot,rot) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 0,3

c)  P(mind. 1 blau) = 1 − 0,3 = 0,7